Would you like vs. Would you mind

Would you like + 명사?
Would you like to + 동사?

상대방에게 무언가를 권할 때, 의향을 물어볼 때 많이 쓰는 표현. (ex. 음식이나 마실것을 권할 때)

Do you like ~? 는 일반적인 취향을 물을 때 쓰임 (현재시제)
Would you like~? 는 지금 이 순간에 당신이 하고 싶은 것, 원하는 것은 무엇인지 물어보는 것임.

Do you like a milk? (평소에, 일반적으로) 우유 마시는 거 좋아해요?

Would you like a milk? 우유 마실래요?
Would you like to try it on? 입어 보시겠어요?
How would you like to play tennis this weekend? 이번 주말에 테니스 치러 가지 않으시겠습니까?

(Would you like 앞에 How를 덧붙히면 더욱 공손한 느낌을 준다.)

Would you mind + ~ing?
Would you mind if I + 과거동사 ~?

~해도 될까요? / ~해도 괜찮을까요?

Would you mind opening the window? Not at all.  창문 좀 열어도 될까요? 물론이죠.
상대에게 양해를 구하거나 허락을 구할 때는 허락의 답변으로 No, not at all. (= Sure) 라고 한다는 것도 반드시 알아두자!

‘mind’라는 동사가 원래 부정의 의미를 가지고 있기 때문에 괜찮다는 의미에서 No라는 답변이 허가/허락을 의미하게 된다.

Would you mind if I borrowed your pen? 당신의 펜 좀 써도 될까요~?

즉,

Would you like ~    는 상대방에게 ~하도록 권유하는것.

Would you mind ~  는 내가 ~해도 되는지 허락 받는것.